Merhaba! Bugün size bir bağıntıdan bahsetmek istiyorum. Gerçek dünyada karşılığı olmayan, yalnızca aritmetiksel bir bağıntı. Ama buna rağmen fazlasıyla sade ve ilgi çekici. Fazla uzatmadan:

\[(1+...+k)^2=1^3+...+k^3\]

Evet, birkaç sayı için deneyip eşitliğin gerçekten de sağlandığını göreceksiniz. Peki bu, eşitliği doğru kabul etmemiz için yeterli bir sebep mi? n yerine 500, 1.000 veya 100.000 koyduğumuzda da eşitlik harika şekilde sağlanacak mı? İşte bunun için belli ispat yöntemlerine başvuruyoruz. Bunlardan biri de tümevarım yöntemi.

Tümevarım yöntemi, adından da anlaşılacağı üzere bir veya birkaç örnekten yola çıkarak önermenin tüm girdiler için sağlandığını göstermeye dayanıyor. Biz bir eşitliği kanıtlarken bu yöntemi şu şekilde kullanacağız:

"Bir eşitlik başlangıç değeri için (bizim eşitliğimizde 1), ve eşitlikteki değişken değerin bir fazlası için \[(n + 1)\] sağlanıyorsa başlangıç değeri ve onu takip eden tüm tamsayılar için sağlanıyordur."

Bunu kısaca izah edelim. Bizim hedefimiz eşitliğin tüm pozitif tamsayılar için sağlandığını görmek. Bu eşitlik eğer 1 için ve eşitliğimizdeki değişkenin bir fazlası olan (n + 1) için sağlanıyorsa kanıtımız bitmiştir. Çünkü bu şu anlama geliyor: Eşitlik \[n=1\] için sağlanıyorsa 2 için de sağlanıyor. \[n=2\] için sağlanıyorsa 3 için de sağlanıyor... Bu şekilde sonsuza kadar gidebiliriz. O zaman haydi, ispatlayalım!

Evet. Söylenecek fazla bir şey yok:

\[1^2=1^3\]

Öncelikle kafa karıştırıcı olmaması adına: "\[n=n+1\]" doğru bir önerme olmayacağından varsayılan değişken olarak "\[k\]" kullandım.

\[(1+...+k+(k+1))^2=1^3+...+k^3+(k+1)^3\]

Öncelikle eşitliğin sol tarafındaki belirsizliği yok etmek için Gauss Toplam Formülü'nü kullanalım:

\[(\frac{(k+1)(k+2)}{2})^2=1^3+...+k^3+(k+1)^3\]

Şimdi de sağ tarafı düzenleyelim. Eşitliğin \[k\] için sağlandığını varsaydığımız için şunu yazabiliriz:

\[(\frac{(k+1)(k+2)}{2})^2=(1+...+k)^2+(k+1)^3\]

Artık sağ taraf için de toplam formülünü uygulayabiliriz.

\[(\frac{(k+1)(k+2)}{2})^2=(\frac{(k)(k+1)}{2})^2+(k+1)^3\]

Artık kare içindeki ifadeleri dışarı çıkarmanın vakti geldi:

\[(\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{2^2})=(\frac{k^2(k+1)^2}{2^2})+(k+1)^3\]

\[(\frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4})=(\frac{k^2(k+1)^2}{4})+\frac{4(k+1)(k+1)^2}{4}\]

Artık \[\frac{(k+1)^2}{4}\] ifadesi tüm terimlerde ortak. Bu da demek oluyor ki bu ifadeyi tüm terimlerden silebiliriz.

\[(k+2)^2=k^2+4(k+1)\]

Son dokunuşları da yaptığımız zaman... İşte!

\[k^2+4k+4=k^2+4k+4\]

Eşitlik doğruymuş! Yani, doğru olduğunu biliyorduk ama artık sebebini de biliyoruz. Tabii ki tek ispatın bu olduğunu söyleyemeyiz, bu yalnızca bir tanesi.

Bu blogda hem hoşuma giden bu eşitliği paylaşıp hem de tümevarım yöntemini basit şekilde açıklamak istedim. Okuduğunuz için teşekkürler ve iyi günler!