Merhaba! Dün özel bir gündü. Tabii, birçok özel gün olabilir: Belki doğum gününüzdü, belki sınavınız vardı... Ama bu yazının sebebi başlıkta da okuduğunuz üzere Pi günü. Evet, bu yazıyı dün bitirsem daha uygun olurdu, ama türlü sebeplerle yetiştiremedim. Bugüne kısmetmiş :)

Klasik başlayalım: Ne anlamı var bu sayının? Muhtemelen ortaokulda bir çemberin çevresinin çapına olan oranının daima sabit ve pi'ye (π) eşit olduğunu öğrenmişsinizdir. Peki neden "Pi" (π) şeklinde ifade ediliyor? Bu sembol, Yunanca'daki "perimetron" (çevre) kelimesinin baş harfi olan "π" harfinden gelmekte. Pi'nin neyi ifade ettiğine bakarsak, Yunan matematikçiler güzel bir isim seçimi yapmışlar.

Pi'nin değeri matematiksel işlemlerde kolaylık için 3, 3.14 veya 22/7 şeklinde alınır. Zaten tam değerini bilemeyiz. Çünkü Pi irrasyoneldir, yani asla iki tamsayının oranı şeklinde (a/b) yazılamaz. Diğer bir deyişle irrasyonel sayılarda virgülden sonraki basamaklar kendini tekrar etmeden sonsuza kadar gider. Pi'nin 3.14159265358979... şeklinde gitmesi gibi.

Öncelikle Pi'nin kullanımı çok eskilere dayanıyor. Antik medeniyetlerin milattan önce 2000 yılından beri Pi sabitinin farkında olduklarını görüyoruz. Antik Mısırlılar, Babiller, Sümerler, Çinliler vs. Pi'ye 3 ilâ 3.2 arasında değerler verdiler. Sonrasında matematikçiler yavaş yavaş da olsa Pi'ye yaklaştılar. Örneğin Arşimet, Pi'nin 223/71 ile 22/7 arasında olduğunu söyledi. Günümüzde de hala en yaygın kullanılan Pi değerlerinden biri 22/7. Bunu izleyen yüzyıllardaysa Ptolemy 3.141666... değeri ile virgülden sonraki üç basamağı doğru hesaplarken asıl ilerleme, milattan sonra 480 yılında Zu Chongzhi'nin 3.1415926 tahminiyle virgülden sonraki tam 7 basamağı doğru bilmesiyle oldu. Ama matematikçiler burada da durmadılar. 1949 yılına kadar Pi'nin 1000 basamağından fazlası hesaplandı. İşte tam bu noktada devrim niteliğinde bir olay oldu: ENIAC adlı bilgisayar kullanılarak Pi'nin hesaplanmasında inanılmaz bir ivme kazanıldı. Bu gelişmeyle yalnızca 20 yıl içinde Pi'nin 500.000 basamağından fazlası hesaplandı. 2024 itibariyle ise yaklaşık 202 trilyon basamağı biliyoruz. Bu anlamsız gelebilir, zira hiç bitmeyecek bir sayıyı hesaplamaya nereye kadar devam edeceğiz ki? Ama matematikte her çaba dolaylı yoldan da olsa faydalı bir şeylerle sonuçlanıyor.

Şahsen ben hep merak etmiştim: Pi'nin, kök ikinin veya herhangi bir irrasyonel sayının irrasyonel olduğu ne malum? Ya bir sonu veya kendini tekrar etmeye başladığı bir nokta varsa da henüz ulaşamadıysak? Evet; günümüzde süper bilgisayarlar sayesinde pi'nin trilyonlarca basamağı hesaplandı ve asla bir tekrarlama görülmedi, ama bu yeterli bir kanıt değil. Çünkü virgülden sonra gelebilecek sonsuz basamağın içinde ister bir trilyonunu bilelim, ister bir oktilyonunu. Bu, bir sonraki basamaktan itibaren basamakların tekrarlamaya başlamayacağını göstermez.

Ancak biraz araştırdığımda gördüm ki bunu matematikçiler de düşünmüş. 1760 yılında Johann Lambert, Pi'nin irrasyonel olduğunu trigonometrik fonksiyonlardan yardım alarak ispatlamış. O günden bugüne de farklı matematikçiler tarafından bir dizi farklı ispat daha yapılmış. Matematiksel kısmına fazla girmeyeceğim ancak kısa bir özet geçebiliriz. Lambert, öncelikle tanjant (bir açı için karşı kenarın komşu kenara oranı) için şu şekilde sonsuza dek devam eden bir açılımı tanımlamış:

\[tan(x)=\frac{x}{1-\frac{x^2}{3-\frac{x^2}{5-...}}}\]

Sonrasındaysa bu fonksiyonda \[x\] sıfırdan farklı bir rasyonel sayıysa \[tan\] değerinin irrasyonel olmak zorunda olduğunu kanıtlamış. \[tan(\frac{π}{4})=1\] olduğunu biliyoruz. \[\frac{π}{4}\] bir rasyonel sayı olsaydı sonuç irrasyonel olurdu, ancak 1 rasyonel bir sayı. Demek ki \[\frac{π}{4}\] irrasyonelmiş. İrrasyonel bir sayıyı bir tamsayıyla çarparsak yine irrasyonel olur. Buradan anlıyoruz ki, \[π\] irrasyonel. Evet, ilk öğrendiğimde beni de biraz hayal kırıklığına uğratmıştı :)

Eski dönem matematikçileri daireyle ve Pi'yle yakından ilişkili bir sorunun daha cevabını merak etmişlerdi: Bir daireyle tam olarak aynı alana sahip bir kare; yalnızca ölçüsüz cetvel ve pergel ile çizilebilir miydi? İşte buna daireyi karelemek diyoruz. Hatta İngilizce'ye o kadar yerleşmiş ki olmayacak bir işe çabalamak anlamında "daireyi karelemek" (squaring the circle) deyimini kullanıyorlar. Bizdeki "akıntıya kürek çekmek" gibi.

Evet, böyle bir deyim varsa demek ki daire karelenmiyormuş. Ancak bunun kanıtlanması oldukça uzun zaman aldı. Öyle ki 1882'de Lindemann-Weierstrass Teoremi'nin ortaya atılmasına kadar bu işin imkansız olduğu ispatlanamamıştı. Ancak bu teorem, Pi'nin transandantal (aşkın) bir sayı olduğunu gösteriyordu. Yani Pi, rasyonel katsayılara sahip bir polinomun kökü (sıfırı) olamazdı.

Aslında bu tam olarak Pi'ye dayanan bir özdeşlik değil, ancak Pi'yi içerdiğinden yer vermek istedim. Euler Özdeşliği, İsviçreli matematikçi Leonhard Euler tarafından 18. yüzyılın ortalarında keşfedilmiş bir özdeşliktir. Matematikteki özdeşliklerin yapı bakımından belki de en güzellerinden olabilir. Çünkü Pi'yi (π), Euler sayısını (e) ve imajiner sayıları (i) tek bir denklemde birleştiriyor. Aslında bu denklem; Euler Formülü olarak bilinen, \[e^{ix}\] şeklindeki ifadelerin -yani e sayısının imajiner kuvvetlerinin- çözümünü açıklayan formül. Bu formülü \[x=π\] için uyguladığımızdaysa şu özdeşliği elde ediyoruz:

\[e^{iπ}+1=0\]

Pi burada da kendine yer bulmuş :)

Tamam, matematikten yeteri kadar bahsettik. Peki ya Pi Günü? Gerek dünyada gerekse ülkemizde Pi Günü bazı okullarda ve kurumlarda çeşitli etkinliklerle kutlanıyor: Pi'yi ezberleme yarışmaları, bilgi yarışmaları... Ancak bu gün ne zamandan beri kutlanıyor, neden 14 Mart'ta?

Öncelikle Pi Günü'nün 14 Mart olarak seçilmesinin sebebi gayet basit: Mart yılın üçüncü ayı. Mart'ın on dördü ise 3.14, yani Pi'nin ilk basamaklarını ifade ediyor. En azından AA/GG/YYYY tarih formatında durum böyle. Aksi takdirde on dördüncü ayın üçünü Pi Günü olarak seçmek zorunda kalabilirdik ki bu Pi'yi kutlayamamamız demek.

Ne zamandan beri kutlandığına gelecek olursak, gayriresmî olarak kayda geçen ilk kutlamayı 1988'de San Fransisco'daki bir bilim müzesi olan Exploratorium'un çalışanlarından Larry Shaw gerçekleştirdi. Bu kutlamada Pi'yi ezberden okuma yarışması yapıldı, turta yendi vs. Ha, turta yemenin esprisi de şu: İngilizce'de "Pi" ve "pie" (turta) kelimelerinin telaffuzu aynı. 12 Mart 2009 yılında ise ABD Temsilciler Meclisi, 14 Mart 2009 tarihini Ulusal Pi Günü olarak belirleyerek bu kutlamaları resmî bir temele oturtmuş oldu. Şu anda matematik meraklıları için güzel bir kutlama vesilesi, zira en akla gelmeyecek şeylerin dahî bir günü varken Pi ve matematik camiası bu kutlamayı hak ediyor diye düşünüyorum :)

Bu yazının da sonuna geldik. Amacım Pi hakkında temel bir fikir vermekti. Matematiksel hesaplamalarda pek detaya girmedim, açıkçası girsem de güzel açıklayabilecek kadar donanımlı değilim. Meraklıları internetten anlaşılır açıklamalara ulaşabilirler. Hoşunuza gittiyse ne mutlu bana, iyi günler!

Who Invented Pi? Tracing the Origins of a Mathematical Marvel

Wikipedia contributors. (2024, December 26). Proof that π is irrational. In Wikipedia, The Free Encyclopedia. Retrieved 08:52, March 14, 2025, from https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Proof_that_%CF%80_is_irrational&oldid=1265336605

Wikipedia contributors. (2025, March 13). Chronology of computation of π. In Wikipedia, The Free Encyclopedia. Retrieved 17:23, March 14, 2025, from https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Chronology_of_computation_of_%CF%80&oldid=1280235301

Wikipedia contributors. (2025, January 22). Squaring the circle. In Wikipedia, The Free Encyclopedia. Retrieved 18:02, March 15, 2025, from https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Squaring_the_circle&oldid=1271193175

Wikipedia contributors. (2025, March 15). Pi Day. In Wikipedia, The Free Encyclopedia. Retrieved 18:24, March 15, 2025, from https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Pi_Day&oldid=1280589613